Задача 1: Найти значение дроби , если .

Решение: . Поделим на x числитель и знаменатель левой части: , откуда . После возведения в квадрат получаем , а затем . Теперь найдём искомую дробь: .

Задача 2:

Задача 3: На одной стороне угла с вершиной O отложены равные отрезки OA = AB = BC, на другой стороне – равные отрезки OD = DE = EF. Докажите, что треугольники AEC и DBF равновелики.

Решение: У треугольников BEO и AEC равны основания AC = BO и общая высота из вершины E, значит, S_BEO = S_AEC. Аналогично S_DBF = S_OBE, значит, S_AEC = S_DBF.

Задача 4: Число членов арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, четно, но не кратно 4. Сумма членов с четными номерами противоположна сумме членов с нечетными номерами. Докажите, что произведение всех членов прогрессии отрицательно.

Решение: Вычислим сумму членов прогрессии, стоящих на четных местах, и сумму членов, стоящих на нечетных местах: . Отсюда получаем, что a₂ + a_4k + 2 =  – (a₁ + a_4k + 1). При этом в арифметической прогрессии a₁ + a_4k + 2 = a₂ + a_4k + 1 = a₃ + a_4k + 2 =  … . То есть все эти суммы раны 0, а, значит отрицательных членов прогрессии ровно половина, то есть 2k + 1. Следовательно произведение всех членов прогрессии отрицаиельно.

Задача 5: Докажите, что для углов произвольного треугольника ABC справедливо равенство:  sin ²A =  sin ²B +  sin ²C – 2 sin B sin C cos A.

Решение: Выразим синусы углов треугольника из теоремы синусов: , . После такой замены доказываемое равенство превратится в теорему косинусов.