Задача 1:

Задача 2: Найдите два трехзначных числа, если известно, что сумма остальных трехзначных чисел в 600 раз больше одного из этих чисел.

Решение: Сумма всех трехзначных чисел равна . Пусть искомые числа x и y, тогда ; 494550 = 601x + y. Так как 100 ≤ y ≤ 999, то . Значит, x = 822,y = 528.

Задача 3:

Задача 4: Решите в целых числах уравнение: x² – 4xy + 3y² = 1983.

Решение: Разложим обе части равенства на множители: (x – y)(x – 3y) = 3 • 661. Сомножители в левой части могут быть лишь числам  ± 1;  ± 3;  ± 661;  ± 1983. Решив получившиеся восемь систем, получим восемь возможных пар (x;y): ( + 990; ± 991),( + 2974; ± 991),( + 326; ± 329),( + 990; ± 329) (знаки надо выбирать одинаковые).

Задача 5: Сечение параллелепипеда плоскостью – пятиугольник с четырьмя равными углами. Найдите углы этого пятиугольника.

Решение: Плоскость пересекает пять из шести граней параллелепипеда. Значит, получившийся в сечении пятиугольник ABCDE будет иметь две пары параллельных сторон. Пусть AB || DE и AE || CD. Продолжим AB и CD до пересечения в точке K. AKDE – параллелограмм. Если  ∠ D =  ∠ E, то эти углы прямые. Тогда в ABCDE получается 4 прямых угла, что невозможно. Значит  ∠ D ≠  ∠ E, а  ∠ A =  ∠ ABC =  ∠ BCD =  ∠ D. Тогда  ∠ K =  ∠ KBA =  ∠ BCK, как углы дополняющие равные до 180. Значит,  ∠ K =  ∠ E = 60  , то есть один угол сечения 60  , а остальные – по 120  .