Задача 1: Про положительные числа a, b, c известно, что

Докажите, что

Решение: Прибавив к каждой части данного равенства по единице, получим . Так как числа положительные, то b + c = c + a = a + b и, следовательно, a = b = c. Откуда и получаем требуемое.

Задача 2: Из каждой вершины 4-угольника провели векторы к серединам всех его сторон. Докажите, что сумма шестнадцати образовавшихся векторов равна .

Решение: Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Сумма векторов лежащих на сторонах четырехугольника равна . Также и . Аналогично, равна нулю сумма оставшихся четырех векторов. Что и требовалось.

Задача 3: Докажите, что дробь несократима ни при каких целых n.

Решение: Пусть числитель и знаменатель имеют общий делитель k > 1, то есть и n⁴ + 6n² + 8 = (n² + 4)(n² + 2) делится на k. Оба сомножителя числителя взаимно просты с n² + 2. Значит, из того, что , следует, что . Так как n² + 4 взаимно просто с n² + 3, то из того, что , следует, что . Поскольку n² + 4 и n² + 1 делятся на k, то . Тогда k должно равняться 3, чего быть не может, так как n² не может давать остаток 2 при делении на 3. Значит, предположение неверно и дробь несократима.

Задача 4: На стороне AB треугольника ABC взяли точку M такую, что AM = ⅓AB. В каком отношении отрезок CM делит медиану, проведенную из вершины A?

Решение: Проведем медианы CC₁ и AA₁ треугольника ABC. Пусть K – точка их пересечения, O – точка пересечения MC и AA₁. Заметим, что C₁M = ⅓C₁A и C₁K = ⅓C₁C. Значит, MK || AC и треугольники MOK и COA подобны. Отсюда заключаем, что и, следовательно, , то есть CM делит отрезок AA₁ пополам.

Задача 5: