Задача 1:

Задача 2: M и N – середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Доказать, что если DM и AC перпендикулярны, то BN:CD = 3:2.

Задача 3: Набор из 100 натуральных чисел обладает тем свойством, что каждое из этих чисел является делителем суммы остальных 99 чисел этого набора. Могут ли все эти числа быть попарно различными?

Задача 4: Точки O и Q лежат на сторонах MN и MR треугольника MNR. Отрезки NQ и OR пересекаются в точке P. Докажите, что площадь треугольника OPQ меньше среднего геометрического площадей треугольников NOP и PQR.

Задача 5: Про вещественные числа x и y известно, что x² – 4xy + 3y² = 7. Какое наименьшее значение может принимать выражение 3x² + 2y² – 12(x + y)?