Задача 1: В строчку в каком-то порядке выписаны цифры 0,1,2, … ,9 так, что из любых трех стоящих подряд сумма каких-то двух равна 7. Чему может быть равна сумма двух цифр, стоящих в начале и в конце строчки?

Решение: Рассмотрим место, где стоит 9. Если 9 не с краю, то:  … a9b … ,a + b = 7. Тогда либо слева от a опять стоит b, либо справа от b опять стоит a – противоречит тому, что цифры не повторяются. Значит, 9 стоит с краю. Аналогично, 8 стоит с краю. Значит искомая сумма 17.

Задача 2:

Задача 3: В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой его углов A и C, а диагональ BD – биссектрисой его углов B и D. Докажите, что все стороны четырехугольника ABCD равны по длине.

Решение: Треугольники ABD и CBD равны, значит AB = BC, AD = DC и, значит равны треугольники ABC и ADC. Откуда заключаем, что AB = AD, BC = CD. Что и требовалось.

Задача 4: Положительные числа a,b,c,d таковы, что a ≥ b ≥ c ≥ d и a + b + c + d ≤ 1. Докажите, что a² + 3b² + 5c² + 7d² ≤ 1.

Решение: a² + 3b² + 5c² + 7d² ≤ a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = (a + b + c + d)² ≤ 1.