Задача 1: На стороне AC равностороннего треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне AB точка E так, что AE = CD. M – середина отрезка DE. Докажите, что .

(С.Л.Берлов)

Задача 2: На острове, население которого составляют только рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут, находится НИИ. Каждый из его сотрудников однажды сделал два заявления:

а) В институте нет и десяти человек, которые работают больше меня.

б) По крайней мере сто человек в институте получают зарплату большую, чем моя.

Известно, что нагрузка у всех работников разная, как и зарплата. Сколько человек работает в НИИ?

(Ф.Л.Назаров)

Задача 3: Натуральные числа a, b, x и y таковы, что ax + by делится на a² + b². Докажите, что числа x² + y² и a² + b² имеют общий делитель, больший 1.

(А.Е.Перлин)

Задача 4: На полке стоят 1994 тома энциклопедии. Каждое утро библиотекарь Федя берет три тома и как-то расставляет их на тех же местах, а каждый вечер уборщица Дуся меняет какие-то два тома местами. Докажите, что Дуся может действовать так, что в любой момент времени на своих местах будет стоять менее пяти томов (исходно тома расставляет уборщица).

(Ф.Л.Назаров)

Задача 5: Точка H – ортоцентр треугольника ABC, а точки H₁ и H₂ – ее проекции на биссектрисы внутреннего и внешнего углов B. Докажите, что прямая H₁H₂ делит сторону AC пополам.

(Д.В.Фомин)

Задача 6: Квадрат разбит на несколько прямоугольников так, что любая горизонтальная прямая пересекает ровно n прямоугольников, а любая вертикальная прямая – ровно m прямоугольников (рассматриваются только прямые, не содержащие сторон прямоугольников). Каково минимально возможное число прямоугольников разбиения?

(Д.В.Карпов)

Задача 7: Дана конечная последовательность чисел a₁, a₂, …, a_n. Разрешается для любого k < n заменить внутри последовательности числа a₁, a₂, …, a_k на числа a_k + 1 – a_k, a_k + 1 – a_k – 1, …, a_k + 1 – a₁ (в указанном порядке). Докажите, что при помощи таких операций можно получить единственную последовательность чисел, в которой каждое число, кроме последнего, не меньше полусуммы своих соседей.

(С.Л.Берлов)