Задача 1: Пять человек – А, Б, В, Г и Д – сыграли турнир по шахматам, причем каждые два участника сыграли друг с другом ровно один раз. После окончания турнира выяснилось, что А выиграл ровно две партии, Б свел все партии вничью, В проиграл только последнему (по результатам) участнику, а Г набрал на пол-очка больше, чем Д. Определите результаты всех шахматистов (в шахматах за победу игрок получает 1 очко, за ничью – пол-очка).

(Д.В.Фомин)

Задача 2: Точка D взята на медиане BM треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB, а через точку C проведена прямая, параллельная медиане BM. Две полученные прямые пересекаются в точке E. Докажите, что BE = AD.

(С.Л.Берлов)

Задача 3: Известно, что сумма нескольких данных положительных чисел равна сумме их квадратов. Что больше: сумма кубов или сумма четвертых степеней этих чисел?

(Ф.Л.Назаров)

Задача 4: Найдите все трехзначные числа, такие, что

а) они при делении на сумму своих цифр, увеличенную на 1, дают в остатке 1;

б) число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, обладает тем же свойством.

(С.В.Иванов)

Задача 5: В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC такой, что AB = 17, AC = 10, BC = 9. Высота пирамиды имеет длину 30, а ее основание совпадает с серединой отрезка BC. Какова площадь плоского сечения пирамиды, проходящего через точку A, параллельного прямой BC и делящего высоту в отношении 4:1, считая от вершины S?

(Д.В.Фомин)