Задача 1:
Баба-Яга и Кащей собрали некоторое количество мухоморов.
Количество крапинок на мухоморах Бабы-Яги в 13 раз больше, чем
на мухоморах Кащея, но после того, как Баба-Яга отдала Кащею свой
мухомор с наименьшим числом крапинок, на ее мухоморах стало
крапинок только в 8 раз больше, чем у Кащея. Докажите, что в
начале у Бабы-Яги было не более 23 мухоморов.
(К.П.Кохась)
Задача 2: Про натуральные числа A, B и C известно, что частное от
деления A на B больше удвоенного остатка от деления A на B, а
частное от деления B на C больше удвоенного остатка от деления B
на C. Докажите, что частное от деления A на C больше удвоенного
остатка от деления A на C.
(Ф.Л.Назаров)
Задача 3: Точка D взята на медиане BM треугольника ABC. Через точку
D проведена прямая, параллельная стороне AB, а через точку
C проведена прямая, параллельная медиане BM. Две полученные прямые
пересекаются в точке E. Докажите, что BE = AD.
(С.Л.Берлов)
Задача 4: Известно, что сумма нескольких данных положительных чисел
равна сумме их квадратов. Что больше: сумма кубов или сумма
четвертых степеней этих чисел?
(Ф.Л.Назаров)
Задача 5: В турнире по олимпийской системе (т.е., в каждом туре
оставшиеся игроки разбиваются на пары, и проигравшие выбывают)
играли 256 человек. Каждому присвоили квалификационный номер –
от 1 до 256. Партия называется неинтересной, если разность
номеров участников больше 21. В турнире все партии оказались
интересными. Докажите, что участник с номером 1 одержал не более
двух побед.
(Р.А.Семизаров и др.)