Задача 1: Квадратный трехчлен f(x) имеет два вещественных корня, разность которых не меньше 1995. Докажите что уравнение f(x) + f(x + 1) +  …  + f(x + 1995) = 0 имеет два вещественных корня.

(С.~Берлов)

Задача 2: Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка O так, что  ∠ OAD =  ∠ OCD. Докажите, что  ∠ OBC =  ∠ ODC.

(С.~Берлов)

Задача 3: Шахматная фигура «пулеметчик» бьет в каком-то одном направлении по вертикали или горизонтали (например, по горизонтали влево) на любое число клеток. Какое наибольшее количество не бьющих друг друга пулеметчиков можно расставить на шахматной доске 20 × 20?

(А.~Пастор)

Задача 4: Пусть d(n) – количество натуральных делителей числа n. Можно ли выбрать сто натуральных чисел a₁,a₂, … ,a₁₀₀ так, чтобы при всех k от 1 до 100 выполнялось равенство d(a₁ + a₂ +  …  + a_k) = a_k?

(Н.~Филонов)

Задача 5: В треугольнике ABC на сторонах AB и BC выбраны точки K и L соответственно, так, что  ∠ KCB =  ∠ LAB =  α . Из точки B опущены перпендикуляры BD и BE на прямые AL и CK соответственно. Точка F – середина стороны AC. Найдите углы треугольника DEF.

(С.~Берлов)

Задача 6: В государстве 2000 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами так, что из любого города можно проехать в любой другой. Докажите, что это государство можно разбить на несколько республик (возможно, всего на одну) так, чтобы в каждой республике из любого города можно было единственным образом проехать в любой другой город этой республики, не выезжая за ее пределы. (В каждой республике должно быть не менее двух городов.)

(Д.~Карпов, А.~Пастор)

Задача 7: В последовательности натуральных чисел сумма первых десяти членов равна 100, а начиная с a₁₁, каждое число a_n равно количеству i < n, таких, что a_i + i ≥ n. Известно, что a₁₁ = 10. Докажите, что начиная с некоторого места все члены последовательности равны между собой.

(С.~Берлов)