Задача 1: В шеренгу стоят 1995 новобранцев. По Уставу, в наряд на чистку сортира можно отправить либо каждого третьего, либо каждого четвертого (то есть, первого, четвертого, седьмого и т. д., либо первого, пятого, девятого и т. д.). Сформированный наряд сразу приступает к делу. Старшина собирается сформировать три наряда. Докажите, что по крайней мере один новобранец может быть уверен, что не попадет ни в один из нарядов.

(А.~Голованов; рис.~Т.~Кохась)

Задача 2: a₁,a₂, … ,a_n – натуральные числа, N – их произведение. Известно, что N делится на квадрат каждого из чисел a₁, … ,a_n. Для каждой пары (i,j), i < j вычислили наибольший общий делитель чисел a_i и a_j; M – произведение всех этих наибольших общих делителей. Докажите, что M² делится на N.

(С.~Берлов, С.~Иванов)

Задача 3: Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка O так, что  ∠ OAD =  ∠ OCD. Докажите, что  ∠ OBC =  ∠ ODC.

(С.~Берлов)

Задача 4: Шахматная фигура «пулеметчик» бьет в каком-то одном направлении по вертикали или горизонтали (например, по горизонтали влево) на любое число клеток. Какое наибольшее количество не бьющих друг друга пулеметчиков можно расставить на шахматной доске 20 × 20?

(А.~Пастор)

Задача 5: f(x) – многочлен третьей степени. Докажите, что существует такое натуральное k, что многочлен f(x) + f(x + 1) +  …  + f(x + k) имеет ровно один вещественный корень.

(С.~Берлов, К.~Кохась)

Задача 6: Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. Высоты треугольника из вершин A и C пересекают окружность в точках E и F соответственно, D – произвольная точка на (меньшей) дуге AC, K – точка пересечения DF и AB, L – точка пересечения DE и BC. Докажите, что прямая KL проходит через ортоцентр треугольника ABC.

(С.~Берлов)

Задача 7: Докажите, что в любой компании, состоящей из четного числа людей, найдутся два человека, у которых в этой компании четное число общих знакомых.

(М.~Антипов)