Задача 1: 25 школьников стоят в ряд. Самый левый школьник выше самого правого. Докажите, что найдется школьник, у которого левый сосед выше правого.

(А.~Храбров)

Задача 2: На доске написано число 12. В течение каждой минуты число либо умножают, либо делят либо на 2, либо на 3, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Докажите, что число, которое будет написано на доске ровно через час, не будет равно 54.

(А.~Голованов)

Задача 3: Утром в луже плавало 19 синих и 95 красных амеб. Иногда они сливались: если сливаются две красные, то получается одна синяя амеба, если сливаются две синие, то получившаяся амеба тут же делится и в итоге образуется четыре красные амебы, наконец, если сливаются красная и синяя амеба, то это приводит к появлению трех красных амеб. Вечером в луже оказалось 100 амеб. Сколько среди них синих?

(Один из членов жюри)

Задача 4: Найти все тройки простых чисел x,y,z, такие, что 19x – yz = 1995.

(Жюри)

Задача 5: В клетчатом квадрате 9 × 9 закрашено 19 клеток. Докажите, что либо найдутся две закрашенные клетки, имеющие общую сторону, либо найдется незакрашенная клетка, к сторонам которой примыкают не менее двух закрашенных.

(С.~Берлов)

Задача 6: Есть шоколадка 17 × 17 долек. Малыш и Карлсон играют в такую игру: ход состоит в том, что один из имеющихся прямоугольных кусков шоколада разламывают на две прямоугольные части, причем Карлсон сразу после своего хода съедает одну из образовавшихся частей. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Малыш. Кто выиграет при правильной игре?

(А.~Пастор, Д.~Карпов)