Задача 1: 25 школьников стоят в ряд. Самый левый школьник выше самого правого. Докажите, что найдется школьник, у которого левый сосед выше правого.

(А.~Храбров)

Решение: Предположим, что у каждого школьника (кроме крайних) правый сосед не ниже левого. Пронумеруем школьников слева направо. Тогда третий школьник не ниже первого, пятый не ниже третьего (а значит, не ниже первого), и так далее. Таким образом получаем, что двадцать пятый школьник не ниже первого, что противоречит условию.

Задача 2: На доске написано число 12. В течение каждой минуты число либо умножают, либо делят либо на 2, либо на 3, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Докажите, что число, которое будет написано на доске ровно через час, не будет равно 54.

(А.~Голованов)

Решение: После каждой операции изменяется четность общего количества двоек и троек в разложении на простые множители числа на доске. В начале это количество нечетно: 12 = 2 • 2 • 3. Поэтому через 60 операций оно должно быть нечетным, но в разложении числа 54 три тройки и одна двойка.

Задача 3: Утром в луже плавало 19 синих и 95 красных амеб. Иногда они сливались: если сливаются две красные, то получается одна синяя амеба, если сливаются две синие, то получившаяся амеба тут же делится и в итоге образуется четыре красные амебы, наконец, если сливаются красная и синяя амеба, то это приводит к появлению трех красных амеб. Вечером в луже оказалось 100 амеб. Сколько среди них синих?

(Один из членов жюри)

Решение: Заметим, что после каждого деления число синих амеб увеличивается на столько же, насколько уменьшается общее число амеб; или уменьшается на столько же, на сколько увеличивается общее число амеб. Число амеб уменьшилось на 14, значит, число синих амеб стало равно 19 + 14 = 33.

Задача 4: Найти все тройки простых чисел x,y,z, такие, что 19x – yz = 1995.

(Жюри)

Решение: Заметим, что yz = 19x – 1995 = 19(x – 105). Поскольку числа y и z – простые, то одно из них равно 19, а другое — (x – 105). Пусть, например, y = 19, z = x – 105. Тогда или x или z – четное число, а значит, z = 2, x = 107. Случай z = 19, y = 105 – x рассматривается аналогично. Ответ: x = 107, y = 19, z = 2 или x = 107, y = 2, z = 19.

Задача 5: В клетчатом квадрате 9 × 9 закрашено 19 клеток. Докажите, что либо найдутся две закрашенные клетки, имеющие общую сторону, либо найдется незакрашенная клетка, к сторонам которой примыкают не менее двух закрашенных.

(С.~Берлов)

Решение: Разобьем квадрат на 9 квадратов 3 × 3. В одном из этих квадратов будет не менее трех закрашенных клеток (потому что если в каждом квадрате 3 × 3 не более двух закрашенных клеток, то всего закрашенных клеток не более 18). Если в каком-либо столбце (строке) квадрата 3 × 3 закрашено две клетки, то уже в этом столбце (строке) найдутся требуемые клетки. Если же закрашенные клетки находятся в разных горизонтальных и разных вертикальных рядах квадрата 3 × 3, то незакрашенная клетка, расположенная в среднем горизонтальном ряду рядом с закрашенной, будет иметь двух закрашенных соседей.

Задача 6: Есть шоколадка 17 × 17 долек. Малыш и Карлсон играют в такую игру: ход состоит в том, что один из имеющихся прямоугольных кусков шоколада разламывают на две прямоугольные части, причем Карлсон сразу после своего хода съедает одну из образовавшихся частей. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Малыш. Кто выиграет при правильной игре?

(А.~Пастор, Д.~Карпов)

Решение: Выигрывает Карлсон. Каждым своим ходом он должен делать так, чтобы все кусочки шоколадки были прямоугольниками с нечетными сторонами. Заметим, что в начале игры это требование выполнено. Тогда после каждого хода Малыша образуется ровно один прямоугольник с одной четной стороной (а все остальные прямоугольники будут с нечетными сторонами), из которого Карлсон сможет сделать прямоугольник с нечетными сторонами. Таким образом, у Карлсона всегда будет ход.