Задача 1: 25 школьников стоят в ряд. Самый левый школьник выше самого правого. Докажите, что найдется школьник, у которого левый сосед выше правого.

(А.~Храбров)

Задача 2: Найти все тройки простых чисел x,y,z, такие, что 19x – yz = 1995.

(Жюри)

Задача 3: В войске герцога Икторна 1000 гоблинов. Любые два гоблина либо дружат, либо враждуют, либо незнакомы. Гоблины – существа малообщительные, разговаривают только с друзьями. К тому же все они в плохом настроении, поскольку у каждого гоблина любые два его друга враждуют, а любые два врага дружат. Докажите, что для того, чтобы все войско узнало о предстоящем наступлении на Данвин, герцог должен сообщить об этом не менее чем 200 гоблинам.

(Р.~Семизаров)

Задача 4: Клетчатый прямоугольник разрезали на прямоугольники 1 × 2 (доминошки) так, что любая прямая, идущая по линиям сетки, рассекает кратное четырем число доминошек. Докажите, что длина одной из сторон делится на 4.

(Д.~Карпов)

Задача 5: На экране калькулятора набрано число 1. Раз в секунду калькулятор производит следующее действие: если число на экране делится на 2^k, то калькулятор прибавляет к нему любое число от 1 до (k + 1). Докажите, что любая степень двойки когда-нибудь обязательно появится на экране.

(А.~Пастор)

Задача 6: Есть шоколадка 1995 × 1995 долек. Малыш и Карлсон играют в такую игру: ход состоит в том, что один из имеющихся прямоугольных кусков шоколада разламывают на две прямоугольные части, одну из которых можно после этого сразу же съесть (а можно и не есть). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Карлсон. Кто выиграет при правильной игре?

(А.~Пастор, Д.~Карпов)

Задача 7: На двух полках стоит в беспорядке многотомная энциклопедия «Все о собаках». Самым левым на верхней полке стоит том «Моськи». Каждое утро библиотекарь меняет местами два тома с соседними номерами, стоящие на разных полках. В один прекрасный день все тома вернулись на исходные полки. Докажите, что «Моськи» по-прежнему стоят слева на верхней полке.

(К. Кохась)