Задача 1: a,b > 0, a + b ≤ 2. Докажите, что .

(Д.~Карпов)

Задача 2: На плоскости даны  ∆ ABC и точки D и E, такие, что  ∠ ADB =  ∠ BEC = 90. Докажите, что длина отрезка DE не превосходит полупериметра  ∆ ABC.

(С.~Берлов)

Задача 3: Решите в натуральных числах уравнение:

.

(Д.~Карпов)

Задача 4: Докажите, что количество способов разрезать прямоугольник на уголки из трех клеток вида всегда четно.

(Д.~Карпов)

Задача 5: В четырехугольнике ABCD на сторонах BC и AD взяты, соответственно, точки R и T. P – точка пересечения отрезков BT и AR; S – точка пересечения отрезков CT и DR. Оказалось, что PRST – параллелограмм. Докажите, что AB || CD.

(Д.~Карпов, А.~Храбров)

Задача 6: a, b, c – натуральные числа, причем (a – b) – простое число и 3c² = c(a + b) + ab. Докажите, что 8c + 1 – точный квадрат.

(С.~Берлов)

Задача 7: В государстве 2000 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами так, что из любого города можно проехать в любой другой. Докажите, что это государство можно разбить на несколько республик (возможно, всего на одну) так, чтобы в каждой республике из любого города можно было единственным образом проехать в любой другой город этой республики, не выезжая за ее пределы. (В каждой республике должно быть не менее двух городов.)

(Д.~Карпов, А.~Пастор)