Задача 1: p и q – простые числа, такие, что p² + 1 делится на q, а q² – 1 делится на p. Докажите, что p + q + 1 – составное число.

(А.~Голованов)

Задача 2: На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка A – одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведен диаметр, параллельный касательной в точке A к другой окружности, причем эти диаметры не пересекаются. Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной окружности.

(С.~Берлов )

Задача 3: На плоскости дано 1995 точек, некоторые пары точек соединены отрезками. Точки первоначально раскрашены в два цвета. Каждую минуту (одновременно) те точки, которые соединены с четным количеством точек такого же цвета, меняют свой цвет. Докажите, что исходная раскраска не сможет снова получиться через нечетное число минут.

(С.~Берлов)

Задача 4: d₁, d₂,…,d_k – все возможные натуральные делители некоторого натурального числа N, выписанные в порядке возрастания. Оказалось, что d₂ – d₁, d₃ – d₂, d₄ – d₃, …, d_k – d_k – 1 – также все возможные делители какого-то натурального числа (не обязательно в порядке возрастания). Найдите все N, для которых такое может быть.

(А.~Голованов)

Задача 5: В Цветочном городе живут 1995 коротышек. У них имеется 995 10-копеечных монет и неограниченный запас пятаков (монет по 5 коп.). Иногда коротышки меняются монетами: один дает другому монету в 10 копеек, а тот ему – два пятака. Как-то вечером каждый из коротышек заявил: «Сегодня я отдал ровно 10 монет». Докажите, что кто-то из них ошибся.

(К.~Кохась)

Задача 6: H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC; D – середина стороны AC. Прямая, проходящая через H перпендикулярно отрезку DH, пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Докажите, что HE = HF.

(С.~Берлов)

Задача 7: Найдите все простые p и q, для которых p² – p + 1 = q³.

(А.~Голованов)

Задача 8: На доске написаны числа . Разрешается к любому из этих чисел прибавить разность двух других, умноженную на произвольное рациональное число. Можно ли такими операциями получить числа ?

(С.~Иванов)