Задача 1: p и q – простые числа, такие, что p² + 1 делится на q, а q² – 1 делится на p. Докажите, что p + q + 1 – составное число.

(А.~Голованов)

Задача 2: Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AB за точку B, на продолжении BC за точку C и на продолжении стороны CA за точку A выбраны точки B₁, C₁, A₁ соответственно, так, что AB = BB₁, BC = CC₁, CA = AA₁. Оказалось, что треугольник A₁B₁C₁ – равносторонний. Докажите, что треугольник ABC – тоже равносторонний.

(Д.~Карпов)

Задача 3: a,b,c,d > 0. Докажите неравенство:

(ac + bd)⁵ + (ad + bc)⁵ ≤ (a + b)⁵(c⁵ + d⁵)

(А.~Храбров)

Задача 4: Можно ли расставить по окружности числа от 1 до 25 так, чтобы сумма любых пяти стоящих подряд чисел давала при делении на 5 остаток 1 или 4?

(Р.~Семизаров)

Задача 5: В Цветочном городе живут 1995 коротышек. У них имеется 995 10-копеечных монет и неограниченный запас пятаков (монет по 5 коп.). Иногда коротышки меняются монетами: один дает другому монету в 10 копеек, а тот ему – два пятака. Как-то вечером каждый из коротышек заявил: «Сегодня я отдал ровно 10 монет». Докажите, что кто-то из них ошибся.

(К.~Кохась)

Задача 6: M – некоторое множество простых чисел, в котором больше одного элемента. Известно, что для всякого (конечного) подмножества N ⊂ M число имеет простые делители только из M. Докажите, что M совпадает с множеством всех простых чисел.

(А.~Пастор)

Задача 7: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. На (меньшей) дуге AB описанной около треугольника окружности выбрана точка L, такая, что LC = CB. При этом оказалось, что  ∠ BLB₁ = 90. Докажите, что высота AA₁ делится высотой BB₁ пополам.

(С.~Берлов)