Задача 1: p и q – простые числа, такие, что p² + 1 делится на q, а q² – 1 делится на p. Докажите, что p + q + 1 – составное число.

(А.~Голованов)

Задача 2: a,b,c > 0. Докажите неравенство:

(Д.~Карпов)

Задача 3: На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка A – одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведен диаметр, параллельный касательной в точке A к другой окружности, причем эти диаметры не пересекаются. Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной окружности.

(С.~Берлов )

Задача 4: На плоскости дано 1995 точек, некоторые пары точек соединены отрезками. Точки первоначально раскрашены в два цвета. Каждую минуту (одновременно) те точки, которые соединены с четным количеством точек такого же цвета, меняют свой цвет. Докажите, что исходная раскраска не сможет снова получиться через нечетное число минут.

(С.~Берлов)

Задача 5: Пусть M – множество значений многочлена x² + 1 в целых точках. Докажите, что множество M не содержит ни одной бесконечной (непостоянной) геометрической прогрессии.

(А.~Голованов)

Задача 6: Прямоугольник разбит на доминошки (т. е. прямоугольники 1 × 2). Докажите, что его клетки можно раскрасить в два цвета так, чтобы любая доминошка в данном разбиении содержала клетки разных цветов, но в любом другом разбиении этого прямоугольника на доминошки нашлась бы доминошка, содержащая две клетки одного цвета.

(Д.~Карпов)

Задача 7: H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC; D – середина стороны AC. Прямая, проходящая через H перпендикулярно отрезку DH, пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Докажите, что HE = HF.

(С.~Берлов)

Задача 8: Существует ли возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что при всех натуральных n сумма цифр числа  равна числу ?

(Д.~Давыдок, Д.~Карпов)