Задача 1: Шестизначное число делится на 8. Какую наибольшую сумму цифр оно может иметь? [Шестизначное число делится на 8, но не делится на 5. Какую наименьшую сумму цифр оно может иметь?]

(С.~Берлов)

Задача 2: На острове Невезения, где живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, существуют три политических партии, причем каждый житель состоит ровно в одной из них. Каждому жителю задали три вопроса: состоите ли вы в первой, состоите ли во второй, состоите ли в третьей партии. На эти вопросы было получено 60%, 50%, 40% [60%, 40%, 30%] утвердительных ответов соответственно. Кого во второй [третьей] партии больше: рыцарей или лжецов?

(Ф.~Назаров)

Задача 3: В ромбе ABCD на отрезке BC нашлась точка E, такая, что AE = CD. Отрезок ED пересекается с описанной окружностью треугольника AEB в точке F. Докажите, что точки A, F и C лежат на одной прямой.

[В ромбе ABCD описанная окружность треугольника BCD пересекает сторону AB в точке E, описанная окружность треугольника AED пересекает отрезок BD в точке F. Докажите, что точки E, F и C лежат на одной прямой.]

(С.~Берлов)

Задача 4: Рассмотрим точки трехмерного пространства, координаты которых целочисленны и удовлетворяют неравенствам: 0 < x < 100, 0 < y < 100, 0 < z < 100. Для каждой такой точки напишем сумму ее наибольшей и наименьшей координаты. Чему равна сумма всех написанных чисел?

[ …0 < x,y,z < 200. Для каждой точки напишем её среднюю по величине координату. Чему равна сумма всех написанных чисел?]

(Р.~Исмаилов)

Задача 5: x и y – вещественные числа из отрезка [0,1]. Докажите неравенство:

(А.~Голованов)