Задача 1: Расставьте по кругу четыре единицы, три двойки и три тройки [три единицы, четыре двойки и три тройки] так, чтобы сумма любых трех подряд стоящих чисел не делилась на 3.

(С.~Берлов)

Задача 2: Натуральное число можно умножать на два и произвольным образом переставлять в нем цифры (запрещается лишь ставить ноль на первое место). Докажите, что превратить число 1 в число 811 [411] с помощью таких операций невозможно.

(А.~Голованов)

Задача 3: На острове Невезения живут 100 [200] человек, причем некоторые из них всегда лгут, а остальные говорят только правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трех богов – богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:

1) Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?

2) Поклоняетесь ли Вы богу Луны?

3) Поклоняетесь ли Вы богу Земли?

На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй – 40 человек и на третий – 30 человек [110, 90, 60]. Сколько лжецов на острове?

(Ф.~Назаров)

Задача 4: Гриб называется плохим, если в нем больше 11 червяков. Червяк – тощий, если он съел не более 1/5 гриба, в котором живет. Четверть всех грибов в лесу плохие. Докажите, что не менее трети всех червяков – тощие.

[Гриб называется плохим, если в нем больше 15 червяков. Червяк – тощий, если он съел не более 1/7 гриба, в котором живет. Одна пятая часть всех грибов в лесу – плохие. Докажите, что не менее четверти всех червяков – тощие.]

(К.~Кохась, С.~Ягунов; )