Задача 1:

Найдите все такие пары натуральных чисел m и n, что

(А.~Голованов)

Задача 2:

Точка D – середина стороны AC треугольника ABC. На стороне BC выбрана такая точка E, что  ∠ BEA =  ∠ CED. Найдите отношение длин AE:DE.

(С.Берлов)

Задача 3:

Задача 4:

Задача 5:

По кругу расставлены числа от 1 до 30. Стоящие на соседних местах числа можно поменять местами. После некоторого количества таких операций оказалось, что каждое число переместилось на диаметрально противоположное место. Докажите, что в некоторый момент меняли местами числа, сумма которых равна 31.

(С.Берлов)

Задача 6:

Дана бесконечная последовательность натуральных чисел a_n, в которой при всех n выполняется соотношение a_n + 2 =  НОД (a_n,a_n + 1) + 1\,. Может ли эта последовательность содержать более 1998 различных чисел?

(С.Берлов)

Задача 7:

В оздоровительный лагерь приехало несколько школьников, каждый из которых имеет среди приехавших от 2 до 30 знакомых. Докажите, что опытный вожатый сможет расселить их в 60 комнат так, чтобы никакие два знакомых не оказались в одной комнате, и чтобы не было школьника, все знакомые которого живут в одной комнате.

(Д.~Карпов)