Задача 1:

Числа x, y, z, t удовлетворяют неравенству (x + y + z + t)² ≥ 4(x² + y² + z² + t²)\,. Докажите, что существует такое вещественное число a, что (x – a)(y – a) + (z – a)(t – a) = 0\,.

(С.Берлов)

Задача 2:

Вдоль окружности расставлены числа от 1 до 100 (в произвольном порядке). Для каждых трех чисел, стоящих подряд, вычислили их сумму. Докажите, что какие-то две из вычисленных сумм отличаются не меньше, чем на 3.

(С.Берлов)

Задача 3:

В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC; AA₁, BB₁, CC₁ – высоты. Прямые AB и A₁B₁ пересекаются в точке X, а прямые MC₁ и AC – в точке Y. Докажите, что XY || BC.

(Д.~Ростовский)

Задача 4:

Найдите все целочисленные решения уравнения p² + q² + pq = 15r²\,.

(А.~Голованов)

Задача 5:

В десятичной записи несократимой дроби m/n каждая цифра после запятой, кроме первой, меньше суммы двух соседних с ней цифр на одно и то же натуральное число k. Докажите, что n ≤ 819.

(Ю.~Базлов)

Задача 6:

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезке AM выбрали точку K, на отрезке BM – точку L, на отрезке BK – точку N. Оказалось, что KL || AB, MN || BC, CL = 2KM. Докажите, что CN – биссектриса угла ACL.

(С.Берлов)

Задача 7:

В стране 2n городов и несколько авиалиний. Любые четыре города соединены друг с другом не более чем четырьмя авиалиниями. Какое наибольшее количество авиалиний может быть в этой стране?

(С.Берлов)