Задача 1:

На сколько нулей может оканчиваться число ?

(А.~Храбров)

Задача 2:

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Окружность, описанная вокруг треу- гольника ABO, пересекает сторону AD в точке E. Окружность, описанная вокруг треугольника DOE, пересекает отрезок BE в точке F. Докажите, что  ∠ BCA =  ∠ FCD.

(С.Берлов)

Задача 3:

На листе клетчатой бумаги нарисована несамопересекающаяся замкнутая ломаная, не проходящая через узлы сетки. В области, ограниченной ломаной, лежит не менее 91 узла. Докажите, что ломаная пересекает линии сетки по крайней мере в 40 точках.

(С.~Иванов)

Задача 4:

Докажите, что количество таких натуральных чисел (m > 1998), что , — четно.

(А.~Храбров)

Задача 5:

В квадрате 10 × 10 расставлены все натуральные числа от 1 до 100. В каждой строке отметили третье по величине число (считая от наибольшего). Докажите, что сумма всех отмеченных чисел не меньше суммы чисел в некоторой строке.

(С.Берлов)

Задача 6:

Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на две его противоположные стороны симметричны относительно прямой, соединяющей середины двух других противоположных сторон этого четырехугольника.

(С.Берлов)

Задача 7:

Множество M состоит из n точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Для каждого треугольника с вершинами из M подсчитали количество точек M внутри него. Докажите, что среднее арифметическое всех найденных чисел не превосходит n/4.

(С.~Иванов)

Задача 8:

На очень большом столе лежат две кучи спичек. В первой куче 2¹ºº спичек, во второй – 3¹ºº. Два игрока по очереди берут спички из куч. Одним ходом разрешается брать из одной кучи k спичек, из другой – m так, чтобы |k² – m²| ≤ 1000. Выигрывает взявший последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

(С.Берлов)