Задача 1:

Найдите наибольшее значение выражения

(А.~Голованов)

Задача 2:

В последовательности натуральных чисел каждый член, начиная с третьего, равен либо сумме, либо модулю разности двух предыдущих. На доске выписаны первые 1999 членов этой последовательности. Докажите, что можно продолжить последовательность по этому правилу так, чтобы в ней снова встретились подряд эти 1999 чисел (в том же порядке).

(Д.~Ростовский)

Задача 3:

Диагонали шестиугольного сечения куба пересекаются в одной точке. Докажите, что сечение проходит через центр куба.

(Р.~Исмаилов)

Задача 4:

Вдоль прямого шоссе расставлены светофоры, на каждом попеременно минуту горит красный свет, минуту — зеленый (не обязательно синхронно). По шоссе со скоростью 60 км/ч едут в одном направлении две машины. На красный свет машина мгновенно останавливается, на зеленый — мгновенно возобновляет движение с той же скоростью. Докажите, что, если в начальный момент расстояние между машинами больше 2 км, то они никогда не встретятся.

(С.Берлов)

Задача 5:

Задача 6:

На клетках бесконечной доски стоят несколько шашек. Разрешается переместить любую шашку на клетку, симметричную ей относительно какой-нибудь другой шашки; допускается наличие нескольких шашек на одной клетке. В позициях A и B все шашки стоят на разных клетках, расположенных не на одной прямой, и из A можно получить B указанными операциями. Докажите, что это можно сделать так, чтобы и в промежуточных позициях все шашки стояли на разных клетках.

(К.~Кохась)

Задача 7:

Докажите, что при k > 2 число  — составное.

(Н.~Филонов)