Задача 1:

Равносторонний треугольник со стороной 9 разбит на 81 равных треугольников отрезками, параллельными сторонам. Докажите, что из него нельзя вырезать более 18 параллелограммов со сторонами 1 и 2.

(О.Ванюшина)

Задача 2:

Точка O — начало координат в трехмерном пространстве. Точки A₁, A₂, …, A_n имеют неотрицательные координаты. Докажите неравенство

(А.~Храбров)

Задача 3:

Каждый месяц лесник Ермолай сажал вдоль забора ряд из 2000 деревьев. К каждому дереву он прибивал табличку, на которой указывал сколько дубов есть среди самого дерева, его левого и правого соседей. Таким образом получалась последовательность из 2000 чисел. Сколько различных последовательностей мог получить лесник Ермолай?

(А.~Храбров, Д.~Ростовский)

Задача 4:

Дан многочлен F(x) = x²ººº – x¹ººº + 1. Докажите, что не существует 8002 различных натуральных чисел a₁, a₂, …, a₈₀₀₂ таких, что при всех попарно различных i, j и k?

(А.~Баранов)

Задача 5:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. На стороне BC взята точка K, для которой  ∠ BB₁K =  ∠ A, а на стороне AB точка M, для которой  ∠ BB₁M =  ∠ C, L — точка пересечения высоты BB₁ и отрезка A₁C₁. Докажите, что четырехугольник B₁KLM — описанный.

(А.~Храбров, Д.~Ростовский)

Задача 6:

Какое наибольшее число ладей можно расставить на шахматной доске n × n так, чтобы каждая из них била четное число других? Мы считаем, что одна ладья бьет другую, если они стоят на одной вертикали или горизонтали и между ними нет других ладей.

(Д.~Карпов)

Задача 7:

Про иррациональные положительные числа  α ,  β ,  γ  и  δ  известно, что при любом натуральном n имеет место тождество [n α ] • [n β ] = [n γ ] • [n δ ]. Следует ли отсюда, что множества  α , β  и  γ , δ  совпадают? (Квадратные скобки, как обычно, обозначают целую часть числа).

(А.~Храбров)