Задача 1:

Задача 2:

На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC выбрана такая точка D, что BC = CD. На катете BC взята такая точка E, что DE = CE. Докажите равенство AD + BE = DE.

(Ф.~Бахарев)

Задача 3:

Каждое из двух натуральных чисел равно сумме трех различных собственных/ делителей другого (собственным делителем числа называется отличный от него натуральный делитель). Докажите, что эти два числа равны.

(А.~Голованов)

Задача 4:

В стране 2000 городов, любые два города соединены двусторонней беспосадочной авиалинией. Когда-то все авиалинии были государственными. 1 января каждого года правительство выбирает 1999 государственных авиалиний и продает их частным авиакомпаниям. После этого 1 мая парламент выбирает один из городов и возвращает государству все частные авиалинии, выходящие из этого города. Докажите, что правительство может действовать так, чтобы к некоторому моменту не менее 99 авиалиний оказались частными.

(А.~Пастор)

Задача 5:

Задача 6:

Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки E и F таковы, что середина отрезка DE лежит на отрезке AB, середина отрезка DF лежит на отрезке BC и  ∠ EDA =  ∠ FDC. Середина отрезка EF точка K лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что  ∠ ABD =  ∠ CBK.

(Д.Карпов,~С.Берлов)

Задача 7:

В роте из 109 солдат каждый день трое выходят в наряд. Докажите, что можно составить такой график нарядов, что через некоторое время любые два солдата побывают вместе ровно в трех нарядах.

(А.~Косовская)