Задача 1:

Существует ли квадратный трехчлен f с положительными коэффициентами такой, что для любого положительного числа x имеет место равенство [f(x)] = f([x]). (Квадратные скобки, как обычно, обозначают целую часть числа.)

(А.~Храбров)

Задача 2:

За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах с делениями можно упорядочить гири весом в 1, 3, 3², …, 3²⁶ г? (Чашечные весы с делениями позволяют определять разность весов грузов, лежащих на чашках.)

(О.Ванюшина)

Задача 3:

Задача 4:

Прямая — касательная к окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника ABC, проведенная в точке B. Точка K — проекция ортоцентра треугольника на прямую , а точка L — середина стороны AC. Докажите, что треугольник BKL — равнобедренный.

(Ф.~Бахарев)

Задача 5:

В квадрате 1 × 1 с единичными скоростями летают два шарика. Между собой они никак не взаимодействуют, а от стенок отскакивают по закону «угол падения равен углу отражения». Докажите, что с верхней стороны на нижнюю может с единичной скоростью спуститься паучок на паутинке так, что ни его, ни паутинку за время опускания шарики не заденут.

(К.~Пименов)

Задача 6:

Докажите, что для любых положительных чисел, удовлетворяющих условию x₁ ≤ x₂ ≤  …  ≤ x_n, справедливо неравенство

(А.~Храбров)

Задача 7:

На плоскости дан выпуклый n-угольник P, ограничивающий площадь меньше 1. Для каждой точки X на плоскости определяется величина F(X), равная площади объединения всевозможных отрезков, соединяющих X с точками многоугольника (площадь выпуклой оболочки/). Доказать, что множество точек X, для которых F(X) = 1, является выпуклым многоугольником с не более чем 2n сторонами.

(Ю.~Бураго)

Задача 8:

Какое наименьшее количество единичных отрезочков нужно стереть в клетчатом прямоугольнике 2000 × 3000 (граничные отрезки стирать запрещается) так, чтобы никакие из оставшихся не образовывали прямоугольника меньшего размера?

(А.~Храбров, Д.~Ростовский)