Задача 1:

Существуют ли четыре таких квадратных трехчлена, что, записав их в любом порядке, мы сможем найти число, при подстановке которого в эти трехчлены полученные значения будут записаны в строго возрастающем порядке?

(А.~Голованов)

Задача 2:

S₁ и S₂ — две окружности, не имеющие общих точек. Общая касательная (внешняя) касается их в точках A и B. Окружность S₃ проходит через A и B и вторично пересекает S₁ и S₂ в точках C и D соответственно. K — точка пересечения прямых, касающихся S₁ и S₂ в точках C и D. Докажите, что KC = KD.

Замечание: точки C, D и K лежат по одну сторону от AB, и точка K лежит вне окружности S₃.

(С.~Берлов)

Задача 3:

На доске 1001 × 1001 отмечено несколько клеток так, что никакие две соседние клетки не отмечены, но клеток, граничащих с отмеченными по стороне, меньше чем отмеченных. Сколько клеток отмечено?

(Ф.~Бахарев)

Задача 4:

Существуют ли 1000 натуральных чисел такиx, что наибольшие общие делители всевозможных наборов этих чисел (по два, по три, …, по тысяче) попарно различны?

(С.~Берлов)

Задача 5:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. На отрезке A₁C₁ выбрали точки A₂ и C₂ такие, что отрезок B₁A₂ делится высотой CC₁ пополам и пересекает высоту AA₁ в точке K, a отрезок B₁C₂ делится высотой AA₁ пополам и пересекает высоту CC₁ в точке L. Докажите, что KL || AC.

(Ф.~Бахарев)

Задача 6:

На координатной плоскости расположены 100 точек. Докажите, что существует не более 2025 = 45² прямоугольников с вершинами в этих точках и со сторонами, параллельными осям.

(С.Иванов)

Задача 7:

a и b — различные натуральные числа такие, что a² + b делится на b² + a и b² + a — степень простого числа. Найдите эти числа.

(С.~Берлов)

Задача 8:

Сеть авиалиний считается надежной, если после закрытия любого аэропорта из любого открытого аэропорта можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). В стране 2000 аэропортов и изначально нет авиалиний. Две авиакомпании по очереди вводят новые беспосадочные авиалиний. Авиакомпания, после хода которой получается надежная сеть авиалиний, проигрывает. Какая из авиакомпаний выиграет при правильной игре?

(Д.~Карпов)