Задача 1:

Пол в гостиной барона Мюнхгаузена вымощен одинаковыми квадратными каменными плитами. Барон утверждает, что его новый ковер (сделанный из одного куска ковролина) закрывает ровно 24 плиты и при этом каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд плит в гостиной содержит ровно 4 плиты, покрытых ковром. Не обманывает ли барон?

(И.Кацев)

Задача 2: Саша выписал первые миллион натуральных чисел, не делящихся на 4. Рома подсчитал сумму 1000 подряд идущих чисел в Сашиной записи. Могло ли у него получиться в результате 20012002?

(А.Голованов)

Задача 3: На доске написано пять двузначных натуральных чисел. Чебурашка может прибавить ко всем числам единицу или прибавить ко всем числам двойку. К. Гена после этого может стереть любое число, делящееся на 13, или число, у которого сумма цифр делится на 7. Докажите, что при любых действиях Чебурашки Гена через некоторое время сумеет стереть с доски все числа.

(К.Кохась)

Задача 4: Точка D — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. Точка E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Установите, какой из отрезков BF или BE длиннее.

(Ф.Бахарев)

Задача 5: Шестизначное число, делящееся на 9, умножили на 111111. Докажите, что десятичная запись произведения содержит хотя бы одну девятку.

(А.Храбров)

Задача 6:

Задача 7:

Клетки черно-белой доски 12 × 12 раскрашены в шахматном порядке. Разрешается взять любые две соседние по стороне клетки и перекрасить их: черные клетки — в зеленый цвет, зеленые — в белый, белые — в черный. Какое наименьшее число таких операций потребуется, чтобы получить «противоположную» бело-черную шахматную раскраску?

(К.Кохась)