Задача 1:

Задача 2: Оля задумала натуральное число, перемножила все его цифры и результат умножила на задуманное число. Получилось 4092. Какое число задумала Оля? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.

Решение: Пусть Оля задумала число x. В разложении 4092 = 2 • 2 • 3 • 11 • 31 есть множители 11 и 31. Эти множители не могли быть появиться от перемножения цифр, значит x делится на 11 • 31 = 143. Само число 341 подходит. Теперь достаточно лишь проверить числа 2 • 341 = 682, 3 • 341 = 1023, 2 • 2 • 341 = 1364 и 2 • 3 • 341 = 2046. Подходящих среди них нет.

Ответ: 341.

Задача 3: Дети гуляют во дворе детского сада. Тех из них, у кого на ногах надето поровну носков, в 3 раза меньше, чем тех, у кого не поровну. Воспитательница велела детям переодеться, и каждый ребенок снял с одной ноги носок и надел его на другую ногу. Теперь тех, у кого носков на ногах поровну, стало столько же, сколько тех, у кого не поровну. Могло ли быть так, что в начале прогулки более чем у четверти детей на одной ноге было ровно на один носок больше, чем на другой?

(К. Кохась)

Задача 4: Вдоль левой стороны дороги припарковано 85 машин. Среди них — 15 красных, 20 желтых и 25 розовых мерседесов. Известно, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд, — одного цвета.

(К. Кохась)