Задача 1: По кругу расставлены 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 20. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 10.

Решение:

Сумма любых 12 чисел подряд равна 60. Т.,е. если из суммы всех чисел вычесть сумму любых двух стоящих подряд, получится 60. Значит, суммы любых двух чисел подряд одинаковы и равны 10. Поэтому каждое число меньше 10.

Задача 2: В лавке можно обменять шило на мыло, или 4 мыла на 1 шило, или 1 мыло на 5 шил (но не наоборот). После нескольких обменов у Сережи оказалось столько же шила и мыла, сколько было вначале. Докажите, что количество сделанных обменов делится на 26.

(С. Иванов)

Решение:

Пусть смена шила на мыло происходила a раз, смена 4 мыл на шило – b раз, и мыла на 5 шил – c раз. Поскольку количество мыла у Серёжи не изменилось, то a – 4b – c = 0. Точно также, отслеживая операции с шилом, имеем, что  – a + b + 5c = 0. Складывая эти два уравнения, получаем, что 4c – 3b = 0, то есть . Из первого уравнения .

И, наконец, . это означает, что a + b + c делится на 16.

Задача 3: На сторонах AB и AC треугольника ABC с углом  ∠ B = 50 выбраны точки D и E такие, что  ∠ ADE = 25. Докажите, что BC + BD > CE.

(А. Пастор)

Решение:

Задача 4: Можно ли клетчатый бумажный квадрат 13 × 13 клеток разрезать «по клеточкам» на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет размеры 2 × 5 или 3 × 7 клеток?

(Д.Карпов)

Решение:

Пусть прямоугольников 2 × 5 – a штук, а прямоугольников 3 × 7 – b штук. Площадь квадрата равна 169 клеточек, значит 169 = 10a + 21b. Отсюда следует, что 21b заканчивается на 9, но минимальное такое число 21 • 9 = 189, что больше 169. То есть разбить квадрат требуемым образом не удастся.

Задача 5: Найдите все тройки натуральных чисел x, y, z такие, что xyz = 190190 и x²y + y²z + z²x = xy² + yz² + zx².

(Ф.Бахарев)

Решение: Ответ: (1,1,190190), (1, 190190, 1), (190190, 1, 1).

170170 = 2 • 5 • 7 • 11 • 13 • 19 — свободно от квадратов. Второе уравнение раскладывается на множители: (x – y)(y – z)(z – x) = 0. Если, скажем, x = y, то 190190 делится на x², что возможно лишь при x = 1. Тогда y = 1, z = 190190.