Задача 1:

Найдите 13 различных чисел таких, чтобы все их попарные суммы были также различны. Не забудьте объяснить, почему у полученных Вами чисел все попарные суммы действительно различны.

Задача 2:

Задача 3:

На доске написаны цифры 1, 2,…, 9. Разрешается стирать с доски любые цифры, записывая взамен цифры десятичной записи их произведения, или просто дописывать на доску еще цифры. После нескольких операций на доске осталась одна цифра. Докажите, что она равна 0.

Задача 4:

В узлах сетки 3 × 100 стоят красные точки (в каждой строке – 100 точек и в каждом столбце – 3 точки). Сколько можно провести прямых, проходящих ровно через 3 красные точки?

Задача 5:

На доске написали трехзначное число. Хулиган Витя вначале записал под ним двузначное число, получающееся из исходного стиранием первой цифры, а потом записал ниже число, получающееся из исходного стиранием первых двух цифр. Он перемножил три получившихся числа и получил в результате 8448. Найдите исходное число.

Задача 6:

Два хулигана из шахматной доски выпилили доску размером 7 × 7, при этом все угловые клетки оказались черного цвета. Хулиганы играют в следующую игру: выкладывая по очереди на доску различные тетрамино (фигурки из 4 клеток), они хотят заполнить 48 клеток доски. Если оставшееся незанятым поле будет черным – выиграет первый, если белым – второй. Делая ход (кладя фигурку) игрок должен показать, как можно оставшиеся клетки заложить так, чтобы осталась незанятой всего одна клетка. Кто из хулиганов может обеспечить себе выигрыш и как для этого он должен играть?

Задача 7: