Задача 1: Перед началом урока учитель написал на доске какое-то число от 1 до 10. После этого дети по очереди сказали следующее:

Первый: «Это число больше 1.»

Второй: «Это число больше 2.»

…Девятый: «Это число больше 9.»

Десятый: «Это число больше 10.»

Одиннадцатый: «Это число меньше 10.»

…Двадцатый: «Это число меньше 1.»

Сколько раз ребята сказали правду?

Задача 2: У продавца есть много гирек весом 33 г, 77 г, 21 г. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах отвесить 331 г товара (класть гирьки на чашу с товаром запрещается, других гирек у продавца нет)?

Задача 3: План садоводческого кооператива «Фанатик» представляет собой прямоугольник 8 × 7 (клетками являются садоводческие участки). Осенью было организовано соревнование на звание «лучший огородник», в ходе которого выяснилось, что все садоводы собрали различное число яблок. Очки начислялись следующим образом: каждый садовод сравнил количество собранных им яблок, с количеством яблок, собранных каждым из его соседей, и записал себе столько баллов, сколько раз его количество блок оказывалось большим. Докажите, что есть два соседа, баллы которых отличаются не более, чем на два (или не отличаются вообще).

Задача 4: К Саше на день рождения пришло несколько друзей. В какой-то момент Саша их сосчитал. Потом пришел Игорь, и Саша записал на листок, во сколько раз увеличилось количество гостей. Затем пришла Катя, и Саша вновь записал на том же листке, во сколько раз увеличилось число гостей по сравнению с тем, что было до ее прихода. То же самое он сделал и после прихода Пети и после прихода Димы. Вечером он перемножил эти четыре записанных числа и получил 3/2. Сколько гостей было у Саши?

Задача 5: Можно ли выписать числа 1, 2, 3,…, 13 по кругу так, чтобы любые два соседних числа отличались друг от друга больше чем на 2, но меньше, чем на 6?