Задача 1: Решить уравнение x² + xy + y² – 2x + 2y + 4 = 0.

Задача 2: Пусть f(x) = x² + px + q. Доказать, что хотя бы одно из чисел f(0), f(1), f( – 1) по модулю меньше 1/2.

Задача 3: Разрезать квадрат на пятиугольники, прилегающие друг к другу по целым сторонам. При этом требуется, чтобы четыре стороны квадрата были сторонами четырех пятиугольников.

Задача 4: Однажды несколько друзей обменивались рукопожатиями. В некоторый момент оказалось, что среди любых четырех из них имеется хотя бы один человек, который успел пожать руки трем другим. Доказать, что друзьям осталось сделать не более трех рукопожатий.

Задача 5: В прямоугольной трапеции ABCD (AB ⊥ BC, AB ⊥ AD точка P делит сторону AB на части, пропорциональные прилегающим сторонам трапеции. Перпендикуляр, опущенный из точки P на прямую CD, пересекает ее в точке M. Доказать, что PM – биссектриса угла AMB.