Задача 1: В треугольнике ABC провели все медианы. Оказалось, что у четырех из шести полученных треугольников равны радиусы описанных окружностей. Верно ли, что треугольник ABC

а) равнобедренный?

б) равносторонний?

Задача 2: Обозначим Известно, что и при любом i = 1,2, … ,n. Докажите неравенство:

Задача 3: В турнире, проходящем по олимпийской системе (с выбыванием), участвуют 512 теннисистов. Перед началом турнира каждому участнику присвоен номер от 1 до 512 в соответствии с его рейтингом. Матч считается неинтересным, если разность присвоенных номеров двух спортсменов, участвующих в нем, больше 30. Докажите, что независимо от жеребьевки и результатов игр, будет сыгран хотя бы один неинтересный матч.

Задача 4: 100 первых натуральных чисел в каком-то порядке записали в ряд и вычислили 98 сумм, получаемых при сложении троек подряд идущих чисел. Какое наибольшее количество нечетных сумм может получиться?