Задача 1: Доказать, что для всех натуральных n выполнено неравенство:

Решение: Используя периодичность функции  sin x и то, что при всех x ≥ 0  sin x ≤ x, имеем цепочку неравенств, которая доказывает утверждение задачи:

Задача 2: Какое наименьшее число круглых фишек диаметром можно расставить на доске 7 × 7 клеток так, чтобы внутри каждой клетки хотя бы одна точка была покрыта некоторой фишкой? (Длина стороны клетки равна 1).

Решение:

Заметим, (см. рис.14.) что одна фишка не может покрыть одновременно точки, лежащие внутри любых закрашенных клеток доски , так как расстояние между такими точками больше, чем диаметр фишки. Значит, для того, чтобы задействовать все закрашенные клетки, потребуется не менее 9 фишек. 9 фишек достаточно. В самом деле, одну фишку можно разместить таким образом, что в каждой клетке некоторого прямоугольника 2 × 3 найдется точка, покрытая этой фишкой. Покрыть доску 7 × 7 девятью такими прямоугольниками труда не составляет.

Ответ: 9 фишек.

Задача 3: Решите в целых числах уравнение: y³ = x⁶ + 2x⁴ – 1000.

Решение:

Очевидно, пара x = 0, y =  – 10 – решение. Покажем, что других решений нет. Случаи x =  ± 1, x =  ± 2, x =  ± 3, и x =  ± 4 проверяются непосредственно. Если же  | x |  ≥ 5, то 2x⁴ > 1000, поэтому x⁶ + 2x⁴ – 1000 > (x²)³. С другой стороны, для всех x x⁶ + 2x⁴ – 1000 < (x² + 1)³. Значит, при всех x по модулю больших 4 выполнено неравенство: x² < y < x² + 1, невозможное для натуральных x и y.

Задача 4: В единичном кубе (рис.3) пропилены 3 сквозных отверстия в форме прямоугольных параллелепипедов, основаниями которых являются квадраты (рис.4) с диагоналями, расположенными на средних линиях граней. Диагонали квадратов равны ½. Определите объем «дырявого» куба.

Решение: Найдем объем ⅛ части куба (см. рисунок). Он равен (рис.16–19). Имеем: . В правильной треугольной пирамиде (мы ее условно назовем внешней) основание равно боковое ребро равно половине диагонали куба с ребром равным ¼. Радиус описанной окружности основания пирамиды равен поэтому высота пирамиды h вычисляется по теореме Пифагора: . Отсюда .

Ответ: .