Задача 1: Действительные числа x, y и z удовлетворяют системе неравенств:

Докажите, что z > 0.

Задача 2: Требуется разрезать квадратный торт на n (n ≥ 6) квадратных кусков (не обязательно одинаковых). Для каких n это возможно?

Задача 3: На горизонтальной поверхности лежат в ряд, касаясь друг друга, 100 одинаковых бревен, сплошь вымазанных дегтем. В ложбину между двумя самыми левыми бревнами кладут такое же, но чистое бревно и без проскальзывания катят его вправо до самой правой ложбины. Какая часть боковой поверхности этого бревна останется чистой к концу пути?

Задача 4: Пусть p – простое число, большее 3. Известно, что для некоторого натурального n запись числа pⁿ содержит ровно 20 цифр. Докажите, что среди них найдутся 3 одинаковые цифры.