Задача 1:

Даны корни x₀ и x₁, x₀ и x₂,  … , x₀ и x_n квадратных трехчленов y = x² + \  + a₁x + b₁, y = x² + a₂x + b₂,  … , y = x² + a_nx + b_n. Найдите корни квадратного трехчлена

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Задача 2:

Сколько существует пар (x,y) целых чисел x и y, заключённых между 1 и 1000, и таких, что x² + y² делится на 49? Пары (x,y) и (y,x) при x ≠ y считаются различными.

(Предложена Е.С.Зенковой.)

Задача 3:

На плоскости заданы точки A₁,A₂,A₃, … ,A₁₉₉₉ так, что A₁A₂ = 10,A₁A₃ = 5, A₂A₃ = \  = 7, а для всех натуральных чисел N, больших 3, A_N – середина отрезка A_N – 3A_N – 2.

а) Найдите площадь треугольника A₁₉₉₇A₁₉₉₈A₁₉₉₉.

б) Какой из углов треугольника A₁₉₉₇A₁₉₉₈A₁₉₉₉ является наибольшим?

(Предложена Д.О.Филимоненковым.)

Задача 4: В восьми вазах лежат конфеты: в первой – 1, во второй – 2, в третий – 3, , в восьмой – 8 конфет. Маша съедает каждый день ровно k конфет (k – натуральное число), причём из каждой вазы берёт не более одной конфеты. Найдите все значения k, при которых Маша сможет съесть все конфеты.

((Предложена С.Э.Нохриным.))