Задача 1: Найдите все такие четверки натуральных чисел, x,y,z,t, которые образуют арифметическую прогрессию и такие, что x³ + y³ + z³ = t³.

Задача 2:

Можно ли расставить числа от 0 до 9 в кружочках (см. рисунок) так, чтобы сумма трех чисел по любому из отрезков была одной и той же?

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Задача 3:

Дана полоска клетчатой бумаги длиной в 100 клеток. Двое играющих по очереди красят клетки в чёрный цвет, причём первый всегда красит 4 подряд стоящие клетки, а второй – три подряд стоящие. Уже покрашенную клетку вторично раскрашивать нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выиграет при наилучшей игре с обеих сторон?

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Задача 4:

На прямой заданы последовательно точки B,L,C,F так, что . Через точки L и F проведена окружность так, что LF – диаметр. Пусть A произвольная точка окружности, не лежащая на прямой. Доказать, что AL – биссектриса угла  ∠ BAC.

(Предложена В.Н.Ушаковым.)