Задача 1: Докажите, что для любых неотрицательных чисел a, b и c справедливо неравенство:

Решение: Пусть a + b + c = 3m, a = m + a₁, b = m + b₁, c = m + c₁. Ясно, что a₁ + b₁ + c₁ = 0. Легко видеть, что a³ = (a₁ + m)³ ≥ m³ + 3a₁m². Аналогично, b³ ≥ m³ + 3b₁m² и c³ ≥ m³ + 3c₁m². Сложив почленно все три неравенства, умноженные каждое на ⅓, и заменив m на , получим требуемое.

Задача 2: Покажите, что уравнение x³ + x = y² не имеет целочисленных решений кроме x = y = 0.

Решение: Числа x и x² + 1 взаимно-просты (то есть не имеют общих делителей, отличных от  ± 1 поэтому из условия y² = x³ + x = x(x² + 1) следует, что как x, так и x² + 1 является точным квадратом. Но x² + 1 является точным квадратом только при x = 0 (докажите!), что завершает доказательство.

Задача 3: На окружности даны 20 точек. Двое по очереди проводят хорды с концами в этих точках так, чтобы хорды не пересекались. Проигрывает тот, кто не сможет провести хорду. Кто победит при правильной игре – начинающий, или его партнёр?

Решение: Занумеруем точки натуральными числами от 1 до 20 в порядке их следования по часовой стрелке (начинать можно с произвольной точки). Одна из стратегий начинающего, гарантирующая ему выигрыш, такова: первым ходом он соединяет точки 10 и 20. Теперь хорды, соединяющие точку с номером меньше 10 с точкой, номер которой больше 10, «запрещены". Далее начинающий играет симметрично своему оппоненту, то есть на хорду, соединяющую точки i и j, при i, j < 10 он отвечает хордой через точки с номерами i + 10 и j + 10 и наоборот. Очевидно, у него при такой стратегии всегда будет возможность сделать свой ход.

Задача 4: Используя неравенство , справедливое для любых положительных чисел a, b и c, докажите, что из всех треугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный треугольник.

Решение: Пусть 2p = a + b + c – заданный периметр, а S – площадь треугольника со сторонами a, b и c. По формуле Герона S² = p(p – a)(p – b)(p – c). Cогласно неравенству, приведённому в условии, , поэтому . Остаётся заметить, что в последнем неравенстве справа стоит площадь правильного треугольника периметра 2p.