Задача 1: Разложить на множители многочлен x⁴ + 4y⁴.

Решение: Искомое разложение: x⁴ + 4y⁴ = (x² + 2y²)² – (2xy)² = (x² + 2y² – 2xy)(x² + 2y² + 2xy).

Задача 2: Доказать, что если между цифрами числа 1331 вставить по равному количеству нулей, то получится точный куб.

Решение: Пусть между цифрами данного числа вставлено по n нулей. Тогда образуется число 1 • 10³ⁿ + 3 • 10²ⁿ + 3 • 10ⁿ + 1, равное (1 + 10ⁿ)³.

Задача 3: Группа из 21 мальчика собрала 200 орехов. Докажите, что двое из них собрали одинаковое количество орехов.

Решение: Пусть все мальчики собрали разное число орехов, и пусть i-ый собрал a_i штук. Без ограничения общности a₁ < a₂ <  …  < a₂₁. Так как все a_i – целые неотрицательные числа, имеем a₁ ≥ 0, a₂ ≥ 1, …, a₂₁ ≥ 20. Но тогда a₁ + a₂ +  …  + a₂₁ ≥ 210 > 200 – противоречие.

Задача 4: Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон ее заключающих и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны.

Решение: Достроим треугольник до параллелограмма ABDC (см. рисунок). Тогда его медиана AA₁ будет равна половине диагонали AD. В треугольнике ADC сторона AD меньше суммы двух других сторон AC и CD. Отсюда вытекает первое утверждение. Рассмотрим далее два треугольника AA₁C, A₁DC. В первом из них сторона AA₁ больше разности сторон AC – A₁C. Во втором – сторона A₁D больше разности сторон DC – A₁C. Если просуммировать эти два неравенства и разделить то что получится на два, то получится второе утверждение.