Задача 1: Три гонщика (A, потом B и затем C) стартуют с интервалом 1 мин. из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг более двух минут. Сделав три круга, гонщик A в первый раз догоняет B у точки старта, а еще через три минуты он вторично обгоняет C. Гонщик B впервые догнал C также у точки старта, закончив 4 круга. Сколько минут тратит на круг гонщик A?

Задача 2:

Над планетой, имеющей форму шара, летают три спутника. Докажите, что в любой момент времени на поверхности планеты имеется точка, из которой ни один из спутников не виден. Спутники считаются точечными.

Проведём плоскость через 3 точки – спутника, и восстановим к ней перпендикуляр из центра планеты. Пусть он пересекает поверхность планеты в точках A и B, а проведённую плоскость в точке C. Тогда если AC ≥ BC, то из точки A не видна вся проведённая плоскость, а поэтому и все спутники. Если же AC < BC, то таким свойством обладает точка B.

Задача 3: Докажите, что уравнение m! • n! = k! имеет бесконечно много решений таких, что n, m и k – натуральные числа, большие 1.

Задача 4:

Изобразите на плоскости AOB множество пар (a;b), таких что ситема уравнений

а) имеет ровно 8 решений;

б) имеет ровно 7 решений;

в) не имеет решений;