Задача 1: Решить уравнение: |3x – 14| = |2x – 1|.

Решение: Для x > 4⅔ имеем 3x – 14 = 2x – 1, откуда x = 13. Для ½ < x < 4⅔ имеем  – 3x + 14 = 2x – 1, откуда x = 3. Для ½ > x решений нет.

Задача 2: Докажите, что разность 43⁴³ – 17⁷⁷ делится на 10 без остатка.

Решение: Достаточно доказать, что 43⁴³ и 17⁷⁷ оканчиваются на одно и то же число. Заметим, что 3^4k оканчивается на 1, 3^4k + 1 – на 3, 3^4k + 2 – на 9, 3^4k + 3 – на 7, а 7^4k оканчивается на 1, 7^4k + 1 – на 7, 7^4k + 2 – на 9, 7^4k + 3 – на 3. Значит 43⁴³ = 43^{4 × 10 + 3} оканчивается на 7, и 17⁷⁷ = 17^{4 × 19 + 1} оканчивается на 7.

Задача 3: Полторы курицы за полтора дня снесли полтора яйца. Сколько яиц снесут 6 кур за 6 дней?

Решение: Одна курица за полтора дня снесет 1 яйцо, 6 кур за полтора дня – 6 яиц и 6 кур за 6 дней – 6 × 4 = 24 яйца.

Задача 4: Постройте треугольник, середины сторон которого будут в данных точках.

Решение: Пусть заданы M, N, K – середины сторон искомого  ∆ ABC. (см. рисунок) Тогда MN || AC, NK || AB, MK || BC. Отсюда способ построения  ∆ ABC: через точку K проводим прямую l₁ || MN, через точку N – l₂ || MK, и через точку M – l₃ || NK. Точки пересечения этих прямых дадут вершины  ∆ ABC, который, очевидно, искомый. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда точки M, N, K не лежат на одной прямой.