Задача 1:

Найти наибольшее значение a² + b² + c², если |ax² + bx + c| ≤ 1 для всех x ∈ [ – 1,\,1].

Задача 2: Найдите два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами таких, что множество значений дробно-рациональной функции есть промежуток .

(В.Сендеров)

Задача 3:

На окружности, описанной вокруг треугольника ABC, отмечены точки A₁, B₁, C₁ – середины дуг CAB, ABC и BCA соответственно. Докажите, что касательные к окружности в точках A₁ и C₁ и серединный перпендикуляр к отрезку BB₁ пересекаются в одной точке.

(М.Сонкин)

Задача 4:

В некоторой компании у каждых трёх человек имеется ровно один общий знакомый среди членов этой компании. Сколько человек может насчитывать такая компания?