Задача 5: При каких n существует многочлен P_n(x) = xⁿ + a₁x^n – 1 +  …  + a_n – 1x + a_n с действительными коэффициентами такой, что при всех x ∈ R P_n(x) >  – 3 и P_n( – 2) = P_n(0) = P_n(2) = 0?

(Н.Агаханов)

Задача 6: Существуют ли 1998 нецелых рациональных чисел, произведение любых двух из которых – целое число?

(А.Малистов, А.Белов)

Задача 7: В пространстве расположены четыре попарно скрещивающиеся прямые. Докажите, что найдётся полуплоскость, границей которой является одна из этих прямых, не пересекающаяся с остальными тремя прямыми.

(Р.Карасёв)

Задача 8: Поле для игры в бильярд имеет размеры m × n дюймов (m,n — натуральные числа). Разрешается установить шар в любую точку поля, отстоящую от бортов на целое число дюймов, и нанести по нему удар под углом 45° к любому из бортов. Угол падения равен углу отражения; при попадании в угол поля шар отскакивает в противоположном направлении. Сколько различных траекторий может получиться в зависимости от m и n?