Задача 1: Решить уравнение

где [A] – целая часть числа A, то есть наибольшее целое число, не превосходящее A.

Задача 2: Число A вида 100 … 01 кратно 19.

Докажите, что A кратно 13.

Задача 3: Треугольники  ∆ ABC и  ∆ OBC оба равносторонние. Точка M лежит на окружности с центром O и радиусом OB.

Докажите, что MB² + MC² = MA².

Задача 4: Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если n – хорошее, то и число n + 6 – хорошее, а если число m – плохое, то и число m + 15 – плохое.

Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?