Задача 1: Верно ли, что существует натуральное число M, обладающее свойством: все натуральные числа, большие M, представимы в виде суммы квадрата и куба каких-то двух натуральных чисел?

Задача 2: Первой точкой Брокара в треугольнике ABC называется такая точка P, что  ∠ PAC =  ∠ PCB =  ∠ PBA. Из точки P опущены перпендикуляры и на стороны BC, CA и AB соответственно. Докажите, что

а) треугольники  ∆ ABC и подобны;

б) коэффициент их подобия равен , где

Задача 3: Числа a, b и c удовлетворяют равенствам: ab + bc + ac = 1999abc, и 1999(a + b + c) = 1. Найти a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹.

Задача 4: Пусть a₁, a₂,  … , a_n — целые числа такие, что все числа b₁, b₂,  … ,b_n (b_i равно произведению цифр числа a_i) различны и не равны нулю. Верно ли, что сумма ?