Задача 1: На клетчатой бумаге нарисована прямоугольная таблица размером 2n × 2m клеток (n и m — натуральные числа). Рассматриваются отрезки длины клетки каждый с концами в узлах таблицы. Какое наибольшее число таких отрезков, попарно не имеющих общих точек, можно провести в этом прямоугольнике?

Задача 2:

Диагонали параллелограмма, отличного от прямоугольника, ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что точка O, а также основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC, BD и CD, лежат на одной окружности.

Задача 3: Рассматривается система двух уравнений с двумя неизвестными: где P(x,y) и Q(x,y) — многочлены по переменной x и по переменной y. Может ли эта система иметь ровно три решения: (2;3), (0;2), (9;7)?

Задача 4: Средним гармоническим чисел a и b называется число . Построить бесконечную последовательность (или доказать, что такой не существует) целых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен среднему гармоническому предшествующего и последующего членов и в которой не все члены равны.