Задача 1: Незнайка утверждает, что он может отметить на плоскости 15 точек таких, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он сможет указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. Прав ли Незнайка?

Задача 2: На поле брани встретились армии Толстых и Тонких по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. Наконец, каждый уцелевший Толстый ещё раз выстрелил в одного из Тонких. После этого у каждой армии кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 500 солдат.

Задача 3: Через точку плоскости проведены 3 прямые, разбивающие плоскость на 6 углов. Известно, что один из образовавшихся углов не превосходит полусуммы наибольшего и наименьшего угла. Докажите, что этот угол не превосходит 60.

Задача 4: Можно ли в вершинах и серединах сторон восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в её середине.