Задача 1: Дан прямоугольник со сторонами 3 и 6 см, в котором расположены 8 точек. Докажите, что среди них найдутся 2 точки, расстояние между которыми не больше .

Решение: Разобъём прямоугольник на 7 фигур так, как показано на рис.16. Согласно принципу Дирихле по крайней мере в одну из фигур попадут 2 точки. Остаётся заметить, что диаметр каждой фигуры ровно .

Задача 2: Первой точкой Брокара в треугольнике ABC называется такая точка P, что  ∠ PAC =  ∠ PCB =  ∠ PBA. Пусть прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что  ∆ ABC =  ∆ A₁B₁C₁.

Решение: Углы  ∠ A₁AC,  ∠ B₁BA и  ∠ C₁CB равны, и вписаны в одну и ту же окружность (см.рис.17), поэтому равны и дуги, на которые они опираются. Но тогда треугольник  ∆ A₁B₁C₁ получается из треугольника ABC поворотом вокруг центра описанной окружности на угол 2 ∠ CAA₁.

Задача 3: Пусть действительные числа x, y и z удовлетворяют неравенству . Докажите, что тогда |x| + |y| + |z| = x + y + z.

Решение: Докажем эквивалентное утверждению: среди чисел x, y и z нет отрицательных. Очевидно, все три числа отрицательными быть не могут. Пусть отрицательное число ровно одно (без ограничения общности это z). Тогда , что после возведения в квадрат даёт невозможное неравенство 2xy > x² + y², поэтому этот случай невозможен. Аналогично доказывается невозможность случая, когда среди чисел x, y и z ровно 2 отрицательных. Остаётся единственный вариант x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. Утверждение доказано.

Задача 4: Верно ли, что число 1999²ººº – 1 делится

a) на 1 000 000?

б) на 10 000 000?

Решение: Обозначим 1999² = 3996001 через t. Тогда 1999²ººº – 1 = t¹ººº – 1 = (t – 1)(t¹⁹⁹⁹ + t¹⁹⁹⁸ +  …  + t² + t + 1). Первая скобка, очевидно, делится на 1000, но не делится на 10 000. Вторая скобка является суммой 1000 слагаемых, каждое из которых имеет вид n • 1000 + 1, где n — чётное число, поэтому эта скобка также делится на 1000, но не на 10 000. Таким образом, число 1999²ººº – 1 делится на 1 000 000 и не делится на 10 000 000.

ОТВЕТ: а) делится; б) не делится.