Задача 1: Двое играют в «морской бой" по следующим правилам: Первый игрок расставляет на полоске клетчатой бумаги размера 1 × 100 клеток произвольное количество кораблей (возможно, ни одного) размера 1 × 3 клетки (расстояние между любыми различными кораблями не менее 1 клетки). Второй указывает противнику n клеток (0 ≤ n ≤ 100), по которым он одновременно производит выстрелы, после чего про каждую из этих клеток получает сообщение «попал" или «мимо". Второй игрок выигрывает, если после этого он может однозначно указать количество кораблей противника и их расположение. При каком наименьшем n второй игрок может гарантировать себе выигрыш?

Задача 2: Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC. На прямой BC отметим точки A₁ и A₂, на прямой AC — точки B₁ и B₂, а на прямой AB — точки C₁ и C₂ так, что OA₁ = OA₂ = OA, OB₁ = OB₂ = OB, OC₁ = OC₂ = OC.

Докажите, что A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = AB + BC + AC.

Задача 3: Пусть действительные числа a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ удовлетворяют неравенствам: и . Докажите, что (a₁ + a₂)(c₁ + c₂) ≥ (b₁ + b₂)²

Задача 4: Докажите, что выражение 2x + 3y (x, y — целые числа) делится на 17 тогда и только тогда, когда делится на 17 выражение 9x + 5y.